Sí puede haber relación y se ha comentado varias veces... Cuando mueves la rueda con una marcha engranada, giras el cigüeñal y con este, mueves pistones, etc pudiendo reducir, en función de la posición en que quedó el motor, válvulas, etc, la compreión del motor. Este motor tiene una compresión altísima (13,5:1). Si la descompresión no funciona puede darse el caso de que el motor de arranque no tenga suficiente potencia desde la batería para girar el cigüeñal. Si ese es el caso, mover la moto con la marcha engranada un mínimo, mueve el motor y lo lleva a otra posición pudiendo ser una ayuda para el arranque.
En este mismo hilo ya se ha descrito la maniobra alguna vez. Por el mismo motivo, cuando refuerzas la batería con un arrancador, la moto enciende. Porque a pesar de la compresión, la energía del arrancador sumada a la de la batería consiguen que el motor de arranque haga su trabajo.
No es un problema de batería. Hay otro factor añadido. Cuando la batería es nueva, al 100%, es capaz de vencer esa compresión. Con un arrancador, también. Pero eso no quiere decir automáticamente que el problema sea una batería acabada. La prueba es que esa misma batería "gastada" a los 15 minutos es perfectamente capaz de arrancar la moto. O lo hace al día siguiente en frío (precisamente cuando no debería de poder). Y falla en caliente. Lo cual me lleva a pensar en una alta compresión y/o alguna dilatación que piden un sobreesfuerzo.
Una batería muerta que no te arranca en caliente, a las dos horas no te arranca perfectamente en frío. O al día siguiente. Una batería muerta, no arranca una moto sólo por hacer girar la rueda (cigüeñal) un cuarto de vuelta.
Hay algo más que no tenemos identificado.